 |
| Image Source: medium |
আমি তখন ক্লাস নাইনে পড়ি। গণিত পড়াতে এসেছেন শ্রদ্ধেয় কেতাব স্যার। আপনারা
অনেকেই হয়ত তাঁকে চিনে থাকবেন। যাহোক, তিনি প্রথম দিন আমাদের লগারিদম পড়ালেন,
আমরা কিছুই বুঝলাম না। দ্বিতীয় দিনও যথারীতি আমাদের লগারিদম পড়ালেন, আমরা কিছুই
বুঝলাম না। আমরা ভাবলাম এভাবে আর না, কিছু একটা করা দরকার। তৃতীয় দিনও যখন তিনি
আমাদের লগারিদমের আরও কঠিন সব প্রবলেম করানো শুরু করলেন, আমরা বললাম, স্যার,
সবই তো ঠিক আছে। কিন্তু লগারিদম জিনিসটা আসলে কি? স্যার সুন্দর একটা হাসি দিয়ে
তাঁর নিজস্ব চিরচেনা ভঙ্গিতে বললেন, "বয়েজ, লগারিদম ইজ লগারিদম!"
আমার মনে হয় লগারিদমকে আসলেই এর চেয়ে সহজভাবে আর সংজ্ঞায়িত করা যায় না।
লগারিদমের সাধারণ জিনিসগুলো আমরা সবাই জানি। কিন্তু পড়ার সময় আমাদের মনে হয়,
স্বাভাবিক লগারিদমের ভিত্তি $e$ কেন। অমূলদ মানই যদি দিত তবে $\pi$ দিয়ে দিত,
এই সংখ্যাটার বিশেষত্বটা আসলে কোথায়? আবার এই ভিত্তি $0$ কিংবা ঋণাত্মক সংখ্যা
হলে কি হত - এই বিষয়গুলো আমাদের মাথায় আসে, কিন্তু অনেকেই জানি না, কিংবা জানার
চেষ্টাও করি না। আসলে লগারিদমের মূল বিষয়গুলো সব বইয়েই আছে, তাই সেদিকে না গিয়ে
বরং এই বিষয়গুলোতে একটু আলোকপাত করা যাক।
বিষয়বস্তুঃ
লগারিদম কী
লগারিদমের নাম আমরা সবাই জানি। জন নেপিয়ার ১৬১৪ সালে লগ আবিষ্কার
করেন।
$e^x = y \implies x = lny$, এই হল লগের সংজ্ঞা। এটাকে আবার এক্সপোনেনশিয়াল
ফাংশনের ইনভার্স ফাংশনও বলা চলে। এখানে ভিত্তি হিসেবে $e$ ব্যবহার করা
হয়েছে। তবে অন্য যেকোন ভিত্তিও ব্যবহার করা যেতে পারে।
 |
| এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনের বিপরীত ফাংশন হলো লগারিদমিক ফাংশন |
আসলে এই আবিষ্কার ওই শতাব্দীতে গণনার ক্ষেত্রে একটা বিপ্লব এনে দিয়েছিলো।
আমরা সবাই জানি লগের সাহায্যে বড় বড় গুণ সহজ যোগের সাহায্যে করা যায়, বড় বড়
ভাগ সহজ বিয়োগের মাধ্যমে করা যায়। কারণ -
i) $log(AB) = logA + logB$
ii) $log(\frac{A}{B}) = logA - logB$
তখন তো আর ক্যালকুলেটর ছিল না। মানুষজন এই লগ টেবিল নিয়ে অংক করতে বসত। এই
লগ টেবিল গণনারর ক্ষেত্রে কত বড় ভূমিকা রেখেছে তা বলার অপেক্ষা রাখে না।
কিন্তু সবগুলো ভিত্তির মধ্যে ১০-ভিত্তিক আর $e$-ভিত্তিক লগারিদমের আলাদা
কদর রয়েছে। আমাদের সংখ্যাব্যবস্থা ১০-ভিত্তিক, তাই এই ভিত্তিতে গণনার
কাজগুলো সহজে করা যায়। কিন্তু $e$ সংখ্যাটার বিশেষত্ব কী?
লগারিদমের ইতিহাস
লগারিদম জিনিসটা কিন্তু একদিনে আসে নি। গোটা ২০ বছর গবেষণার ফল হিসেবে
নেপিয়ার মাত্র ৯০ পৃষ্ঠার একটা বই বের করলেন "A Description of an
Admirable Topic of Logarithm" নামে, আর উন্মোচন হল খুব সহজে গণনারর এক
কৌশল।
 |
| জন নেপিয়ার |
যেই লগারিদমের ভিত্তি $e$, তাকে বলে স্বাভাবিক লগারিদম। এই $e$ এর এক লম্বা
ইতিহাস আছে। $e$ আসলে $(1+\frac{1}{n})^{n}$ এর একটি সীমাস্থ মান, যেখানে n
এর সীমা অসীম।
$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$
এর ধারণা প্রথম আসে জ্যাকব বার্নুলির মাথায়। তিনি চক্রবৃদ্ধির সুদ
($(1+r)^n$) নিয়ে কাজ করার সময় দেখেন,
$(1+1)^1=2$
$(1+\frac{1}{2})^2=2.25$
$(1+\frac{1}{3})^3=2.37$
.....
এভাবে চলতে থাকলে কি সুদের পরিমাণ একসময় অসীম হয়ে যাবে? কিন্তু বার্নুলি
সাহেবের স্বপ্ন স্বপ্নই থেকে গেল। এই এক্সপ্রেশনটাকে বাইনারি এক্সপানশন
করলে যেটা পাওয়া গেল, তা একটা কনভার্জিং নাম্বার আর এটা কনভার্জ করে e এর
দিকে।
$(1+\frac{1}{1000})^{1000}=2.7169...=e$
 |
| জ্যাকব বার্নুলি |
এটা শুনে আপনারা নিশ্চয়ই গালে হাত দিয়ে ভাবছেন, "কিসের সাথে কি, পান্তা
ভাতে ঘি!" এটার সাথে ন্যাচারাল লগারিদমের সাধ কী?
আসলে তখনও এর সাথে ন্যাচারাল লগারিদমের কোন সম্পর্ক ছিল না। এমন কি এর নাম
যে $e$ দেয়া যায় তাও ঠিক হয় নি। পরবর্তীতে 1720 সালে অয়লার এর মান ২৩ ঘর
পর্যন্ত বের করেন এবং ১৭২৭ সালে এর নামকরণ করেন $e$, একে অয়লারের ধ্রুবকও
বলা হয়।
স্বাভাবিক লগারিদমের ভিত্তি $e$ কেন
$logx$ এর গ্রাফ X অক্ষকে $(1, 0)$ বিন্দুতে ছেদ করে। এই লগের ভিত্তি যদি $2$
হয় তাহলে এই বিন্দুতে ঢাল হয় $1.44$ আর ভিত্তি যদি হয় $3$, তাহলে এর ঢাল
দাঁড়ায় $0.91$। তাহলে 2 আর 3 এর মধ্যে এমন একটা মান আছে যার জন্য (1,0)
বিন্দুতে ঢাল হয় $1$। এই মানটাই পাওয়া গেল $e=2.7169.....$। অর্থাৎ আমরা
যদি এই মানটা ভিত্তি হিসেবে ব্যবহার করি, তাহলে ক্যালকুলেশন অনেক সহজ হয়ে
যাবে।
 |
| $(0, 1)$ বিন্দুতে $e^x$ এর ঢাল $1$ |
আমরা সবাই জানি $f(x)=e^x$ একমাত্র ফাংশন যাকে ডিফারেনশিয়েট অথবা
ইন্টিগ্রেট যাই করা হোক না কেন, এর মানের কোন পরিবর্তন হয় না। গণিতবিদেরা
যদি সিদ্ধান্ত নিতেন, $e$ এর মান আমরা আজ থেকে $3$ ধরে অংক করবো, তাহলে
কিন্তু এই সুবিধাটা পাওয়া যেত না। কলনবিদ্যায় (Calculas) তাই $e$ ভিত্তিক
লগারিদম নিলে কাজগুলো অনেক সহজ হয়ে যায়। আমরা কিন্তু এখনো যেকোন ভিত্তির
লগারিদমিক ফাংশনকে ডিফারেনশিয়েট করার জন্য $e$ ভিত্তিক লগারিদমের সাহায্যেই
করি। এত এত সুবিধার জন্যই আসলে একেই ন্যাচারাল লগারিদমের বেজ হিসেবে
ব্যবহার করা হয়।
 |
| $e^x$ এর ডেরিভেটিভ নিয়ে ইন্টারনেটে প্রচলিত একটি "Meme" |
$e$ সম্পর্কে অন্যান্য তথ্য
$e$ কে বলা হয় অয়লার সংখ্যা। কয়েক বছর আগের একটি তথ্যমতে $e$ এর
$869,894,101$ decimal place পর্যন্ত বের করা হয়েছে। এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।
আমরা যেমন ছোটবেলায় প্রমাণ করেছিলাম $\sqrt{2}$ is an irrational number,
তেমনি অয়লার সাহেব প্রমাণ করেছিলেন $e$ একটি অমূলদ সংখ্যা। এটি একটি
trancendental (যেসব সংখ্যাকে পূর্ণসাংখ্যিক সহগযুক্ত algebric equation এর
root হিসেবে লেখা যায় না) সংখ্যা। তবে $e+\pi$ transcendental কিনা তা নিয়ে
এখনও গবেষণা চলছে।
বর্তমানে আসলে টেইলরের সিরিজ ব্যবহার করে এর মান নির্ণীত হয়।
$e=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+.... $
এখানে কিন্তু দ্বিপদী বিস্তৃতি থেকেও আসা যায়।
 |
| লিওনার্দো অয়লার |
একটি মাইন্ড ক্যালকুলেশন ট্রিক
আমরা এমন অনেককেই জানি, যাঁরা নিমেষেই অনেক বড় বড় হিসেব করে ফেলতে পারেন।
এরকম মাইন্ড ক্যালকুলেশনের অনেক রকম ট্রিক আছে। তার মধ্যে লগারিদমেরও কিছু
কাজ আছে।
আপনি যদি বলেন একটা পূর্ণসংখ্যার $17$ তম ঘাত $17179869184$ হলে সংখ্যাটি
কত? অনেক জটিল হিসাব, কিন্তু আপনি যদি লগের সাহায্যে করেন, তবে বিষয়টা অনেক
সহজ। আপনি দেখবেন এই বড় সংখ্যাটা কত অংকের। এখানে এটি ১১ অংকের। ১১ অংকের
সংখ্যার ১০ ভিত্তিক লগারিদম হবে $10.something$ (এটা কেন হয়, তা বের করার
দায়িত্ব পাঠকের) মনে করি সংখ্যাটা $x$।
$\implies x^{17}=179869184$
$\implies 17 logx=10.***$
$\implies logx=10.***/17$
$\implies logx=0.588$
এখন আপনি লগ টেবিল থেকে জানেন $log3=0.477, log5=0.699$। তাহলে $x$, $3$
এবং $5$ এর মধ্যে কোন পূর্ণসংখ্যা। নিঃসন্দেহে $4$। মিলিয়ে দেখুন, $4^{17}
= 17179869184$।
লগ টেবিলের শুধু মৌলিক সংখ্যাগুলোর মান জানা থাকলে আর ভাগের কাজ মনে মনে
করতে পারলে আপনি এমন বড় বড় সমস্যাগুলো নিমেষে সমাধান করতে পারবেন। কারণ
মৌলিক সংখ্যাগুলো গুণ করলেই আসলে সবগুলো বড় বড় সংখ্যা পাওয়া যায়। বড় বড় গুণ
ভাগও ক্যালকুলেটর ছাড়া লগের সাহায্যে করা যায়।
লগারিদমের প্রয়োগ
আমরা যদি লগারিদমের প্রয়োগ সম্পর্কে বলি সবার আগে বলতে হবে গণনার সহজ
উপায়।
 |
| ভূমিকম্পের রিখটার স্কেলের মান হিসাব করা হয় লগ স্কেলে |
লগের কাজ কোন বড় সংখ্যাকে ছোট করে উপস্থাপন করা। যেমন শব্দের তীব্রতা,
রিখটার স্কেল এগুলো লগের মান। অর্থাৎ কোথাও যদি একদিন ৩ মাত্রার, আর
পরেরদিন ৪ মাত্রার ভূমিকম্প হয় এর মানে আগের তুলনায় ১০ গুণ বেশি মাত্রার
ভূমিকম্প হয়েছে। কারণ এটি দশভিত্তিক লগের মান। কোন বড় সংখ্যার অংকসংখ্যা, যেমন $5^{99}$ আপনি লগের সাহায্যে করতে পারবেন, ক্যালকুলেটরেও এটি math error
দেখাবে। সুতরাং লগ একটা খুব সুবিধার জিনিস এতে সন্দেহ নেই। এরকম অংক কিন্তু
প্রাইমারি, জুনিয়র অলিম্পিয়াডেও আসে।
মৌলিক সংখ্যা ও $e$
সংখ্যাতত্ত্বের একটা কনজেকচার দিয়েছিলেন গাউস। পরে অবশ্য এটা থিওরেম হয়েছে।
এটা এতই গুরুত্বপূর্ণ যে অনেক প্রাইম নাম্বার রিলেটেড থিওরেম থাকা সত্ত্বেও একে "প্রাইম নাম্বার থিওরেম" বলা হয়। এটা মৌলিক সংখ্যার বিস্তার নিয়ে
ভবিষ্যদ্বাণী করে।
 |
| Prime Number Distribution Graph |
এটি জানতে হলে আমাদের আগে জানতে হবে $\pi(n)$ কাকে বলে। সহজ কথায় এটা একটা
ফাংশন যা নির্দেশ করে $n$ এর ছোট বা সমান সব মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা। যেমন,
$\pi(6) = 3$, কারণ $6$ এর চেয়ে ছোট বা সমান তিনটি মৌলিক সংখ্যা আছে ($2,
3, 5$)।
থিওরেমটা এরকম, $n$ যখন আসীমের দিকে ধাবিত হয় তখন
$\pi(n)=\frac{n}{ln(n)}$। অর্থাৎ -
$\lim_{n \to \infty} \pi(n) = \frac{n}{ln(n)}$
এখানে $n$ এর মান যত বড় হবে, থিওরেম তত ভাল ফল দেবে। এখানেও আছে ন্যাচারাল
লগারিদমের খেলা। এছাড়া radioactive decay, probability সহ বিজ্ঞানের
বিভিন্ন শাখায় রয়েছে $e$ এবং লগের গুরুত্ব।
কেন লগারিদমের ভিত্তি ঋণাত্মক হয় না
আমরা যদি লগের সংজ্ঞার দিকে তাকাই তাহলেই বুঝতে পারবো, কেন এর ভিত্তি $0$
কিংবা ঋণাত্মক হতে পারে না। আমি যদি বলি $(-2)^3$ তাহলে এর মান দাঁড়ায়
$-8$। মানে তিনবার মাইনাস মানে মাইনাস এইট। যদি বলি $(-2)^2$ তাহলে মাইনাসে
মাইনাসে প্লাস ফোর। কিন্তু যদি বলি $(-2)^{1.3591....}$, অর্থাৎ একটা চলতে
থাকা ভগ্নাংশ, তাহলে আমরা একে সংজ্ঞায়িত করতে পারি না এটা পজিটিভ নাকি
নেগেটিভ। মানে সবসময় নেগেটিভ সংখ্যার সূচক সংজ্ঞায়িত নয়। (অসংজ্ঞায়িত আর
অনির্ণেয় এর মাঝে পার্থক্য আছে কিন্তু)। আর 0 এর ব্যাপারটা পাঠকের ওপর ছেড়ে
দিলাম।
এজন্যই লগের বেজ নেগেটিভ বা শূন্য হয় না।
তিনটি মজার সমস্যা
সমস্যা ০১
$6^{1935}$ এর অংকসংখ্যা কত?
সমস্যা ০২
প্রমাণ করতে হবে $e^{lnx}=x$
সমস্যা ০৩
প্রমাণ করতে হবে যে $x$ এর সকল বাস্তব মানের জন্য $e^x \geq x+1$
দ্বিতীয় সমস্যার সমাধান
মনে করি, $ln(x) = y \implies e^y = x$, এখন আমরা $y$ এর যে মান ধরেছিলাম, সেটা বসিয়ে দিলেই প্রমাণ হয়ে গেল!
আসলে লগ কিংবা e এর কনসেপ্ট অনেক বিস্তারিত। যতটা সম্ভব সংক্ষিপ্ত করার চেষ্টা করেছি। অনেক গুরুত্বপূর্ণ বিষয় বাদ পড়ে যেতে পারে। আবার অনেক অপ্রাসঙ্গিক কথাও আসতে পারে। নাইন টেনের স্ট্যান্ডার্ডে বলতে চেয়েছি, কিন্তু আসলে ক্যালকুলাসের ভাষাগুলা ব্যবহার না করে বিষয়টা বলতে পারি নি।
আগ্রহীরা বিষয়গুলি নিয়ে আরও বিস্তারিত অনুসন্ধান করলে এ লেখা সার্থক হবে। আরও জানতে পড়তে পারেন ডা. সৌমিত্র চক্রবর্তীর 'সম্ভবত' এবং 'প্রাণের মাঝে গণিত বাজে: বীজগণিতের গান' বই দুটি।
Comments
Post a Comment