টেইলর সিরিজ (২. ল্যাগ্রাঞ্জের রিমেইন্ডার থিওরেম)

জোসেফ-লুইস ল্যাগ্রাঞ্জ (১৭৩৬-১৮১৩)

গত পর্বে আমরা দেখার চেষ্টা করেছিলাম একটা ফাংশনকে কীভাবে টেইলর সিরিজের মাধ্যমে বিস্তৃত করা যায়, একই জিনিস আবার জ্যামিতি আর ত্রিকোণোমিতি থেকেও যে আসা যায়, সেটাও দেখেছিলাম। সেখানে আমরা বলেছিলাম, যত পদের সংখ্যা বাড়ানো যায়, ততো আমাদের বহুপদীটি ফাংশনের কাছাকাছি যাবে। কাছাকাছি যাওয়ার অর্থ হলো সব মানের জন্য কিন্তু পুরোপুরি সমান হয় না। তার মানে একটা ভুলের মাত্রা থাকে, এটাকে বলে রিমেইন্ডার টার্ম। এই রিমেইন্ডার টার্ম বের করার জন্য বিভিন্ন থিওরেম আছে, তার মধ্যে ল্যাগ্রাঞ্জের রিমেইন্ডার থিওরেম আজ আলোচনা করার চেষ্টা করা যাক।

টেইলর বহুপদীতে পদের সংখ্যা বাড়ালে ভুলের মাত্রা কমানো যাবে। কিন্তু ঠিক কতগুলো পদের জন্য ভুলের মাত্রা ঠিক কতটুকু হবে, কিংবা একটা নির্দিষ্ট দশমিক মান পর্যন্ত সঠিকভাবে বের করার জন্য ঠিক কতগুলো পদের দরকার হবে, সে বিষয়গুলো আমরা ল্যাগ্রাঞ্জের রিমেইন্ডার থিওরেম দিয়ে বের করতে পারি। 

গত পর্বে আমরা দেখেছিলাম কী করে টেইলর সিরিজ আসলো। টেইলর সিরিজের দিকে আরেকবার তাকানো যাক,

$P(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \frac{f^3(a)}{3!} (x-a)^3 + ....... + \frac{f^n(a)}{n!} (x-a)^n + ...... \infty      (1)$

অসীম পদ পর্যন্ত না গেলে এটা হবে টেইলর বহুপদী। বাস্তবে হিসাবের জন্য তো অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত করা সবসময় সম্ভব হয় না। মনে করি, কোন একটা কারণে $f(x)$ ফাংশনকে আমরা প্রথম  $n$ ঘাত পর্যন্ত $P(x)$ একটা বহুপদী তৈরি করলাম, যেখানে অ্যাপ্রোক্সিমেশনের কাজটা শুরু করেছি $a$ বিন্দু থেকে। তাহলে আমরা একটু বোঝার চেষ্টা করি, রিমেইন্ডার বা ভুলের মাত্রা ঠিক কতটুকু। 

$n$ ঘাতের বহুপদীতে রিমেইন্ডারকে আমরা প্রকাশ করি $R_n(x)$ দিয়ে। খুব সহজভাবে এটা হলো মূল ফাংশনের মান আর বহুপদীর মানের পার্থক্য। 

$R_n(x) = |f(x) - P_n(x)|.........(2)$

$x = a$ বিন্দুতে আমরা রিমেইন্ডার বের করতে চাইলে এভাবে লিখব, $R_n(a) = |f(a) - P_n(a)|$। এখন আমরা যদি $(1)$ নম্বর সমীকরণ থেকে $P(a)$ বের করতে চাই, তাহলে যত পদে $(x-a)$ আছে, সবগুলো পদই বাদ যাবে।

$P(a) = f(a) + f'(a) (a-a) + \frac{f''(a)}{2!} (a-a)^2 + \frac{f^3(a)}{3!} (a-a)^3 + ....... + \frac{f^n(a)}{n!} (a-a)^n + ...... \infty = f(a)$ 

অর্থাৎ $P(a) = f(a)$। তাহলে এখানে $R(a) = 0$।

 আমরা এখন দুই নম্বর ফাংশনকে ডিফারেনশিয়েট করি। 

$R'_n(x) = |f'(x) - P'_n(x)|$

এবার $P'(a) = f'(a)$  হবে। কারণ আগের পদ ধ্রুবক, ডিফারেনশিয়েট করলে $0$ হয়ে যায়, আর পদের পদগুলোতে $(x-a)$ পদ থাকে, যেটাও $0$ হয়ে যায়, থেকে যায় কেবল $f'(a)$।

এজন্য $R'_n(a) = |f'(a) - P'_n(a)| = 0$।

একইভাবে, $R''_n(a) = 0, R^3_n(a) = 0, R^4_n(a) = 0......R^n(a) = 0$

এভাবে আসলে কতবার ডিফারেনশিয়েট করলে রিমেইন্ডার টার্ম $0$ হতেই থাকবে? 

$P_n(x)$ যেহেতু একটা বহুপদী, যার সর্বোচ্চ ঘাত $n$, তাহলে এটার $n$তম ডেরিভেটিভ হবে $f^n(a)$। কিন্তু এরপর যদি আরও একবার ডিফারেনশিয়েট করা হয়, তখন তো আর কোন পদ থাকবে না, ফলে এটার মান হবে $0$, $P^{n+1}_n(x) = 0$।

তাহলে রিমেইন্ডার টার্মের $(n+1)$ তম ডেরিভেটিভ আর শূন্য হবে না। কারণ $f^{n+1}(a)$ এর একটা মান থাকবে, কিন্তু $P^{n+1}(a) = 0$। 

অর্থাৎ, $R^{n+1}(a) = f^{n+1}(a)$।

এটাকে আমরা একটু সাধারণীকরণ করলে পাই, $|R^{n+1}(x)| = |f^{n+1}(x)|........(3)$

তাহলে আমরা রিমেইন্ডার টার্মের $(n+1)$ তম ডেরিভেটিভের মান পেয়ে গেছি, এখন এটাকে $(n+1)$ বার ইন্টিগ্রেট করলেই মূল রিমেইন্ডার টার্ম পাওয়া যাবে।

$(3)$ নম্বর সমীকরণকে নিয়ে আমরা একটু নাড়াচাড়া করি। মনে করি, $f(x)$ কে $(n+1)$ বার ডিফারেনশিয়েট করলে পাওয়া যায় $f^{n+1}(x)$। এই ফাংশনের একটা সর্বোচ্চ মান থাকতে পারে, যেমন, $f^{n+1}(x)$ এর মান আসতে পারে $(5cosx+3)$। এর সর্বোচ্চ মান হবে $8$। এভাবে অন্য ফাংশনের অন্যরকম মান আসতে পারে। আমরা ধরে নিই, $f^{n+1}(x)$ এর সর্বোচ্চ মান $M$। তাহলে $(3)$ নম্বর সমীকরণকে আরেকটু সাজিয়ে-গুছিয়ে লেখা যায় 

$|R^{n+1}(x)| \leq |M|.........(4)$

এবার আমরা ইন্টিগ্রেট করা শুরু করবো।

$\int |R^{n+1}(x)|dx \leq \int|M|dx.........(5)$

কিন্তু ইন্টিগ্রেট শুরু করার আগে আমাদের ছোট্ট একটা কাজ করতে হবে। যেহেতু এখানে একটা পরমমান আছে, তাই হঠাৎ করেই ইন্টিগ্রেশন শুরু করা যাবে না। ইন্টিগ্রেশনের ক্ষেত্রে একটা ছোট্ট অসমতা দেখা যাক।

$|\int f(x)dx| \leq \int |f(x)| dx$

এই বিষয়টা কীভাবে হবে? চিন্তা করুন, $sinx$ ফাংশনকে $0$ থেকে $2\pi$ পর্যন্ত ইন্টিগ্রেট করার পর পরমমান নিলে উত্তর আসবে $0$, কিন্তু আগে পরমমান করে তারপর ইন্টিগ্রেট করলে অবশ্যই $0$ এর চেয়ে একটা বড় মান আসবে। নিচের ছবিটা দেখলেই বিষয়টা পরিষ্কার হবে।

অর্থাৎ, $|\int_{0}^{2\pi} sindx| \leq \int_{0}^{2\pi}|sinx|dx$।

এখান থেকে আমরা বলতে পারি, $|\int R^{n+1}(x)dx| \leq \int |R^{n+1}(x)|dx.........(6)$

এবার (5) আর (6) নম্বর অসমতা থেকে পাওয়া যায়,

$|\int R^{n+1}(x)dx| \leq \int |R^{n+1}(x)|dx \leq \int|M|dx$

এখন মাঝখানের অংশটা বাদ দিয়ে আমরা এই অসমতাটা নিয়ে আসি - 

$|\int R^{n+1}(x)dx| \leq \int|M|dx........(7)$

এখন আমরা ইন্টিগ্রেশন শুরু করার জন্য প্রস্তুত! $(7)$ নম্বর অসমতার দুই পাশে ইন্টিগ্রেশন করে দিই,

$|R^{n}(x)| \leq |M|x + c.....(8)$, $c$ হলো ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক। 

এখন এই ধ্রুবকের মানটা বের করা যাক। আমরা $R^n(a)$ এর মান জানি। এটা হলো $0$, এই মানটা ব্যবহার করে আমরা $c$ এর মান বের করবো।

$|R^{n}(a)| \leq |M|a + c$

$\implies 0 \leq |M|a + c$

$\implies -Ma \leq c$

এখন $(8)$ এ $c$ এর মান বসিয়ে পাই, $|R^{n}(x)| \leq |M|x -|M|a \implies |R^{n}(x)| \leq |M|(x-a)$

আবার এটাকে ইন্টিগ্রেট করি, 

$\int |R^{n}(x)|dx \leq \int|M|(x-a)dx$ ,$(6)$ নম্বর অসমতা প্রয়োগ করে পাই,

$|\int R^{n}(x)dx| \leq \int|M|(x-a)dx$, ইন্টিগ্রেশন করলে পাওয়া যায়,

$|R^{n-1}(x)| \leq |M| \frac{(x-a)^2}{2} + c$

আবার $x = a$ বসিয়ে $c$ এর মান বের করলে পাওয়া যায় $0$। এরপর থেকে বারবার যে এর মান $0$ আসবে, সেটাও বোঝা যাচ্ছে।

এভাবে $(n+1)$ বার ইন্টিগ্রেশন করলে পাওয়া যাবে, $|R(x)| \leq |M|\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}.....(9)$

এখন আমরা হয়ত কোন একটা নির্দিষ্ট বিন্দু $x = b$ তে রিমেইন্ডার বের করতে চাইছি। তাহলে $(9)$ নম্বর সমীকরণে $x = b$ বসিয়ে দিলাম।

$|R(b)| \leq |M|\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}.....(10)$

এটাই হলো ল্যাগ্রাঞ্জের রিমেইন্ডার থিওরেম। অনেক জায়গায় $(b-a)$ কে $c$ লেখা হয়। 

এই থিওরেমের মূল ব্যাখ্যাটা আসলে আরও খানিকটা জটিল। সেটাকে একটু সরল ভাষায় বললে এরকম দাঁড়ায়। বিস্তারিত জানতে Brilliant.org এর এই লেখাটি পড়া যেতে পারে।

শুধু এই থিওরিগুলো বলে গেলে আসলে মূল বিষয়টা বোঝা যায় না। এজন্য টেইলর সিরিজের শেষ পর্বে আমরা ছোট দুটো সহজ উদাহরণ দেখার মাধ্যমে বিষয়গুলো ভালোভাবে বোঝার চেষ্টা করবো। তখন ল্যাগ্রাঞ্জের এই রিমেইন্ডার থিওরেম কিভাবে ব্যবহার করা যাবে, সেটা ভালোভাবে বোঝা যাবে। এছাড়া টেইলর সিরিজের কিছু সত্যিকারের বাস্তব প্রয়োগ (যেমন, এটা দিয়ে কীভাবে $\pi$ এর মান নির্ণয় করা যায় এবং অন্যান্য) নিয়ে আলোচনা করে আমরা শেষ করে দেব।

React

Share with your friends!